รากฐานเชิงพีชคณิต: เส้นตรงและเซตแบบเอฟฟิน
เพื่อเดินทางผ่านภูมิประเทศการเพิ่มประสิทธิภาพหลายมิติ เราจำเป็นต้องนิยามวิธีการเคลื่อนที่ระหว่างจุดสองจุด $x_1$ และ $x_2$ เส้นตรงทางคณิตศาสตร์คือเซตของจุด $y$ ที่สอดคล้องกับเงื่อนไข:
$$y = \theta x_1 + (1 - \theta)x_2$$
หรืออีกมุมมองหนึ่ง คือเริ่มจากจุด $x_2$ และเคลื่อนที่ไปในทิศทาง $(x_1 - x_2)$ ที่ถูกปรับขนาดด้วย $\theta$: $y = x_2 + \theta(x_1 - x_2)$ เมื่อ $\theta$ อยู่ในช่วงจำนวนจริงทั้งหมด $\mathbb{R}$ เราจะได้เซตแบบ เอฟฟินคุณสมบัติสำคัญที่ควรจดจำ: เส้นใดๆ ก็ตาม เป็นเซตเอฟฟิน ถ้าเส้นนั้นผ่านจุดกำเนิด มันจะเป็นสเปซย่อย จึงเป็นกรวยเวกเตอร์ด้วย
ส่วนของเส้นตรงคือการจำกัดเมื่อ $0 \le \theta \le 1$ แตกต่างจากเส้นตรงที่ไม่มีที่สิ้นสุด ส่วนของเส้นตรงเป็น เวกเตอร์ แต่ไม่ใช่เอฟฟิน (ยกเว้นว่าจะลดลงเหลือจุดเดียว) มันแสดงถึงการรวมกันของค่าเฉลี่ยเชิงน้ำหนักหรือการผสมผสานระหว่างปลายทั้งสองจุด
ลำแสง ซึ่งมีรูปแบบ $\{x_0 + \theta v \mid \theta \ge 0\}$ โดยที่ $v \neq 0$ ยังคงเป็น เวกเตอร์ แต่ไม่ใช่เอฟฟินลำแสงเป็นองค์ประกอบพื้นฐานในการสร้างกรวยในทฤษฎีการเพิ่มประสิทธิภาพ
การทดสอบความเวกเตอร์
เราให้เซต $C$ เป็น เวกเตอร์ ถ้าส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดใดๆ ในเซตนั้นอยู่ภายในเซตทั้งหมด ข้อกำหนดง่ายๆ นี้ คือการรวม 'สะพาน' เข้าไว้ จะทำให้ปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพสามารถแก้ไขได้หรือไม่สามารถแก้ไขได้
ตัวอย่าง: การเพิ่มประสิทธิภาพพอร์ตโฟลิโอ
ในด้านการเงิน สมมุติว่า $x_1$ แทนพอร์ตโฟลิโอที่มีหุ้น 100% และ $x_2$ คือพันธบัตร 100% ส่วนของเส้นตรงแสดงถึงการผสมผสานที่เป็นไปได้ทั้งหมด เช่น การแบ่งสัดส่วน 60/40 เกิดที่ $\theta = 0.6$ ถ้าเซตของ 'พอร์ตโฟลิโอที่ยอมรับได้' เป็นเวกเตอร์ แล้วการผสมผสานของพอร์ตโฟลิโอที่ถูกต้องสองชุดจะต้องถูกต้องเสมอ ซึ่งเป็นคุณสมบัติที่ช่วยลดความซับซ้อนในการประเมินความเสี่ยงอย่างมาก